给学生 debug

原文：Debugging the student — LessWrong

作者：Adam Zerner

2020 年 12 月 16 日

让我来为你解释微分方程是什么。假设我们有这样一个等式：


f''(x) + 2 * f'(x) = 3 * f(x)

这个等式的含义是：函数 f(x) 的二阶导数加上两倍的一阶导数，等于三倍的 f(x) 本身。

到这里你能跟上吗？不能？那么是什么地方让你感到困惑呢？

  • 要理解微分方程，你需要先掌握二阶导数的概念。

  • 要理解二阶导数，你需要先掌握一阶导数的概念。

  • 要理解一阶导数，你需要先掌握极限的概念。

  • 要理解极限，你需要先掌握函数的概念。

  • 要理解函数，你需要先掌握代数知识。

  • 要理解代数，你需要先理解基本的算术。

换句话说，这些知识之间存在着层层递进的依赖关系。这就像大学课程中的先修要求一样。你必须先完成《基础生物学》，然后才能进入《高级生物学》的课程。

不过，「生物学」并不是一个独立的概念。在这里，我想强调的是，即使在更为细微的单个概念层面上，也存在着类似大学课程那样的依赖关系。

这种关系可以用下图来直观地展示：

img

真酷。让我们再回到微分方程的例子。在那个例子中，我直接开始向你解释微分方程，却没有先确认你是否理解二阶导数。更不用说一阶导数、极限、函数、代数运算，甚至基本的算术知识了。

我这样做合理吗？嗯，这要看具体情况。如果是在大学的微分方程课堂上，我清楚学生们都已经学过微积分，具备理解微分方程的基础知识。

但如果我是在跟街上的路人交谈呢？假设他们懂得二阶导数合理吗？显然不合理。那一阶导数呢？也不行。大多数人都没学过微积分。

极限概念呢？这虽然是高中数学课程的内容，但很多人现在已经记不清了。

函数呢？这应该更基础一些，是不是可以指望人们都记得？其实未必。我最近给一位编程新手讲解什么是编程中的函数，想用数学中的函数概念（比如高中学过的）打比方，结果发现他对这个概念也很生疏。所以，我认为最好还是先确认一下他们是否理解函数的工作原理。

代数呢？这应该基础到大家都懂吧。不过，也许也不尽然。也许他们也需要复习一下。

那么算术呢？我想到这个层面，大概可以安全地做出这样的假设了。

img

在我看来，成为一名优秀教师的关键之一，就是能够恰当地梳理这种知识依赖关系。如果学生无法理解你对微分方程的讲解，可能是因为他们根本不了解二阶导数，所以最好先确认他们是否理解二阶导数。如果他们不懂二阶导数，那就得看看他们是否理解一阶导数。这个过程某种程度上类似于程序员 debug 计算机代码。在这里，教师实际上是在 debug 学生的理解过程。

作为一名教育者，你无需一开始就精准定位学习者的知识水平。你可能从基础概念入手，比如解释函数的定义。如果学习者表示他们曾学过微积分但有些生疏，你就可以适当提高难度，快速检验他们对一阶和二阶导数的理解程度。这是你与学习者之间的一种互动过程，宛如一场默契的舞蹈。你们携手合作，在知识的阶梯上上下探索，直至找到合适的起点。一旦确定了起点，接下来就是循序渐进的教学过程了。

（事实上，这个过程更像是一个有节点和连接的图，就如上面 Khan Academy 的图示所示。不过，将其比喻为梯子更为简单，也更便于讨论。）

我所说的「教育者」和「学习者」是广义上的概念。举例来说，当我为你指引到最近加油站的路线时，我就是教育者，你就是学习者。我在向你传授知识。这并不仅仅局限于课堂上的师生关系。

生活中充满了这样的小互动，其中一方扮演着教育者的角色，另一方则是学习者。然而，令人遗憾的是，扮演教育者角色的人常常犯一个错误：一开始就选择了过高的起点。这就像对一个普通路人直接开始讲解微分方程，而不先了解他的数学基础一样。

理论上，即使你一开始选择了过高的起点，也不是什么大问题。学习者可以直接说：

抱歉，我其实从未学过微积分。甚至高中数学我都有些遗忘了，所以我听不懂你在说什么。

这时，教育者就会意识到自己的错误，降低难度，重新寻找合适的起点。

问题在于，这种理想的教学情况在现实中很少发生。我发现，如果我表现得像上面提到的学生那样，教师通常会稍作停顿，简单回顾一下导数的概念，然后不等确认我是否理解就继续讲解微分方程的原理。这让我想起了一篇名为《要倾听得好，就要保持好奇》的博文。似乎教师们通常都有一套固定的授课内容，而不会努力确认学生是否真正理解了所讲的内容。这更像是一场单向的演讲，而非双向的交流。

我不确定为什么会这样。以向普通人解释微分方程为例，如果在一小时后让教师反思这个过程，他们可能会说：

嗯，是的，现在回想起来，我假设这个人懂微积分确实有些欠考虑。

但在当时，人们很容易被自己要讲的内容所吸引。

他们不知道什么是二阶导数？好的，让我快速解释一下，然后继续我原本要讲的内容。

我认为这种行为甚至不是有意识的，更像是一种本能反应。这是我最反感的问题之一，而我自己仍然经常犯这个错误。我常常事后才意识到自己犯了错，然后懊悔不已。也许对人类来说，同时记住自己要说的内容，又要考虑听众是否理解，这是一件不那么自然的事。

再次强调，我这里只是在随意推测。我不确定为什么会发生这种情况，为什么如此难以避免。但我确实强烈地感觉到：a) 这是一个普遍存在的问题，b) 这个问题很重要，因此我想引起人们对它的关注。